液体动力学

发布时间:2009-11-22 来源:扬子工具集团 浏览次数:10852

液体动力学
主要是研究液体流动时流速和压力的变化规律。流动液体的连续性方程、伯努利方程、动量方程是描述流动液体力学规律的三个基本方程式。前两个方程反映了液体的压力、流速与流量之间的关系,动量方程用来解决流动液体与固体壁面间的作用力问题。主要内容是
n             基本概念
n             流量连续性方程
n             伯努利方程
n             动量方程

一、基本概念
1、理想液体:既无粘性又不可压缩的假想液体称为理想液体。
2、恒定流动:液体中任何一点的压力、速度、密度等参数都不随时间变化而变化的流动。
3、非恒定流动:液体中任何一点的压力、速度、密度有一个参数随时间变化而变化的流动。4、一维流动  整个液体在管道中作线形流动。
5、二维流动  整个液体在管道中作两坐标的平面流动。
6、三维流动整个液体在管道中作三坐标空间流动。
7、流线:某一瞬时液流中一条条标志其各处质点运动状态的曲线。流线间不能相交,不能转折,但可相切,流线是一条条光滑的曲线,见图2-7a。
8、流管:在流场的空间划出一任意封闭曲线,封闭曲线本身不是流线,经过该封闭曲线上每一点作流线,这些流线组合成一表面,称为流管,见图2-7b。
9、流束:流管内的流线群称为流束,见图2-7c。
微小流管或流束  微小流束截面上各点处的流速可以认为是相等的。
10、缓变流动:流线间的夹角很小,或流线曲率半径很大的流动称为缓变流动。平行流动和缓变流动都可以是一维流动。
11、通流截面:流束中与所有流线垂直的横截面称为通流截面,其可能是平面或是曲面,见图2-7c所示。

二、连续方程
1、流量与平均流速
1)流量  单位时间内流过某通流截面的液体体积,用q表示,即
                     
由于实际液体具有粘度,液体在某一通流截面流动时截面上各点的流速是不相等,流量表示为
     
通过整个通流截面的总流量为
     
2)平均流速流  过通流截面A的流量与以实际流速流过通流截面A的流量相等,即
 
所以                              
2、 连续方程

如图2-8所示,在恒定流动、液体是不可压缩条件下,根据质量守恒定律

∵ρ1=ρ2故上式简化为
  
对上式等号两端进行积分,则     
根据式(2-24),上式可写成      
或                                     
=常数    
所以不管平均流速和液流通流截面面积沿着流程怎样变化,流过不同截面的液体流量仍然相同。
三、伯努利方程
1、理想液体的伯努利方程
假设从理想液流中沿流束方向取出一段长度为ds,面积为dA的微元体,如图2-9,
由牛顿第二定律
   
因为速度u是时间和空间的函数,所以
   
对于恒定流动  ,则上式变成
       
又因为                
整理得
      
将上式沿流线s从截面1到截面2进行积分,得
              
上式两边同除以g,移项后整理得
       
因为截面1、2是任意取的,故上式也可写成
常数            
上式就是只受重力作用的理想液体作恒定流动时的伯努利方程或能量方程。

2、理想液体伯努利方程的物理本质
只受重力作用下的理想液体作恒定流动时具有压力能、位能和动能三种能量形式,在任一截面上这三种能量形式之间可以互相转换,但这三种能量在任意截面上的形式之和为一定值。。

3、 实际液体的伯努利方程

图2-9中的微元体从截面1流到截面2因粘性而损耗的能量,则实际液体微小流束作恒定流动时的能量方程为
             
对于缓变流动,
动能修正系数是指单位时间内过流截面处液流的实际动能和平均动能之比
       

如图2-10所示,通过微流束取一流管,截面为A1、A2,微流束两端的截面为dA1、dA2,两截面相应的压力、速度、离基准面的位置分别为p1、u1、Z1和p2、u2、Z2。将方程两边在A1和A2面上进行积分,得                        
因为是一个常数,上式左右两边的第一项积分中值可从积分符号内取出来,即

同理             
将上式左右两边的第二项积分,得

同理                       
设hw代表总流在这流段上的单位重量液体的平均能量损失则有                   
把上面计算的各式整理后可得
             
其中hw为单位重量液体从截面A1流到截面A2过程中的能量损耗。
4、应用实际液体的伯努利方程时必须注意以下几点
1)液流是只受重力作用和不可压缩,密度在流动中保持不变。
2)液流是恒定流动,如不是恒定流动,则要加入惯性项。
3)要取在平行流或缓变流上,至于两截面之间是什么流动没有关系, 为通流截面的同一点上的两个参数,通常把这两个参数都取在通流截面的轴心处,公式中的速度取平均速度。

例2-2    如图2-11所示,液体在管道内作连续流动,截面1-1和2-2处的通流面积分别为A1和A2,在1-1和2-2处接一水银测压计,其读数差为Δh,液体密度为ρ,水银的密度为ρ′,若不考虑管路内能量损失,试求:(1)截面1-1和2-2哪一处压力高?为什么?(2)通过管路的流量q为多少?
解   1)截面1-1处的压力比截面2-2处高。
理由是:由伯努利方程的物理意义知道,在密闭管道中做稳定流动的理想液体的位能、动能和压力能之和是个常数,但互相之间可以转换,因管道水平放置,位置水头(位能)相等,所以各截面的动能与压力能互相转换。因截面1的面积大于截面2的面积,根据连续性方程可知,截面1的平均速度小于截面2的平均速度,所以截面2的动能大,压力能小,截面1的动能小,压力能大。
2)以1-1和2-2的中心为基准列伯努利方程。由于Z1=Z2=0,所以
    
根据连续性方程                  
U形管内的压力平衡方程为
      
将上述三个方程联立求解,则得



例2-3  如图2-12所示,液压泵的流量为q=32L/min,吸油管通道d=20mm,液压泵吸油口距离液面高度h=500mm,液压泵的运动粘度ν=20×10-6  m2/s,密度ρ=900kg/m3,不计压力损失,求液压泵吸油口的真空度。
解    吸油管的平均速度为

油液运动粘度

油液在吸油管中的流动状态   

此时液体在吸油管中的运动为层流状态。选取自由液面Ι-Ι和靠近吸油口的截面Ⅱ-Ⅱ列伯努利方程,以Ι-Ι截面为基准面,因此Z1=0,υ1≈0(截面大,油箱下降速度相对于管道流动速度要小得多),p1=pa(液面受大气压力的作用),即得如下伯努利方程

因                               
所以泵吸油口(Ⅱ-Ⅱ截面)的真空度为

四、动量方程
动量定理认为:作用在物体上的合力大小应等于物体在力作用方向上的动量变化率,即
     
如图2-13所示,动量的增量为
 
式中 
             
         
所以
      
通过微小流束的动量的变化可写成下式

根据液体的连续性方程,q1 = q2 = q
则通过总流的动量差

用动量修正系数进行修正。动量修正系数为实际动量与平均动量之比
  
所以
      
             
应用上式时必须注意以下几点
1)适当选取控制体
2)式中均为向量,计算时应列出指定方向上的动量方程
3)等式左边的力是作用在被研究的流体段上的所有外力;控制体内的液体与固体壁面间为相互作用力,求作用在固体壁面上的力时,要应用作用力与反作用力。
4)等式右边的为流出的速度,为流入的速度,并注意方向。
例2-4    有一股流量为,密度为的油流,以速度为垂直射向平板,之后分两股平行平板射出,如图2-14所示。求射流对平板的作用力。
解  是正确选用控制体。本题中以截面1-1、2-2、3-3所划出的区域为控制体积


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